Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

siempre y cuando la integral esté definida.

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.

La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

$F_B(s) = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Propiedades

Linealidad

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Potencia n-ésima

$\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}$

Nota: en la demostración aparece la función Gamma.

Seno

$\mathcal{L}\{\,sen(\omega t)\} =\frac{ \omega }{s^2 + \omega^2}$

Coseno

$\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}$

Seno hiperbólico

$\mathcal{L}\{\,\mbox{senh}(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}$

Coseno hiperbólico

$\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}$

Logaritmo natural

$\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}$

Raíz n-ésima

$\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)$

Función de Bessel de primera especie

$\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{n}}{\sqrt{1+s^2}}$

Función modificada de Bessel de primera especie

$\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}$

Función de error

$\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

Derivación

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(s)\, d(s)$

NT: en la demostración recordar que $e - s t$ debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite $l i m (f (t) / e - s t, t = 0.. i n f i n t o)$ (el cual seria cero, sino no habría como calcular) es por esto que funciones del tipo $\mathcal{L}\{f(e^{t^2}))$ (que crece más rápido que $e - s t$ ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que $e^{t^2}$ , no es una función de orden exponencial.

Integración

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

Desplazamiento de la frecuencia

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s-a)$

Desplazamiento temporal en t

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

Nota: $u (t)$ es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

$\mathcal{l}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]$

Convolución

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Transformada de Laplace de una función con periodo p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

Otras transformadas comunes

Transformada de Laplace	Función en el tiempo
$1$	$δ(t)$
$\frac{1}{s}$	$u (t)$ (función escalón unitario)
$\frac{1}{(s+a)^n}$	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$
$\frac{1}{s(s+a)}$	$\frac{1}{a}(1-e^{-at})$
$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$
$\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2}$	$e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{c-a}{b}\right)\mbox{sen}{(bt)}\right)$
$\frac{\mbox{sen}\varphi s+a\cos\varphi}{s^2+a^2}$	$\mbox{sen}{(at+\varphi)}$

Tabla de las transformadas de Laplace selectas

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:

La transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

$\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$

La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a $0 -$ , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es multiplo de u(t). Aquí está una lista de las transformadas más comunes:

Función

Dominio en el tiempo
$x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$

Dominio en la frecuencia
$X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$

Región de la convergencia
para sistemas causales

retraso ideal

$\delta(t-\tau) \$

$e^{-\tau s} \$

impulso unitario

$\delta(t) \$

$1 \$

$\mathrm{todo} \ s \,$

enésima potencia retrasada y con
desplazamiento en la frecuencia

$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$

$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$

$s > 0 \,$

n-ésima potencia

${ t^n \over n! } \cdot u(t)$

${ 1 \over s^{n+1} }$

$s > 0 \,$

2a.1

q-ésima potencia

${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$

${ 1 \over s^{q+1} }$

$s > 0 \,$

2a.2

escalón unitario

$u(t) \$

${ 1 \over s }$

$s > 0 \,$

escalón unitario con retraso

$u(t-\tau) \$

${ e^{-\tau s} \over s }$

$s > 0 \,$

Rampa

$t \cdot u(t)\$

$\frac{1}{s^2}$

$s > 0 \,$

potencia n-ésima con cambio de frecuencia

$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$

$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$

$s > - \alpha \,$

2d.1

amortiguación exponencial

$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$

${ 1 \over s+\alpha }$

$s > - \alpha \$

convergencia exponencial

$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$

$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$

$s > 0\$

seno

$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$

${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$

$s > 0 \$

coseno

$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$

${ s \over s^2 + \omega^2 }$

$s > 0 \$

seno hiperbólico

$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$

${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$

$s > | \alpha | \$

coseno hiperbólico

$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$

${ s \over s^2 - \alpha^2 }$

$s > | \alpha | \$

onda senoidal con
amortiguamiento exponencial

$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$

${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$

$s > -\alpha \$

onda cosenoidal con
amortiguamiento exponencial

$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$

${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$

$s > -\alpha \$

raíz n-ésima

$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$

$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$

$s > 0 \,$

logaritmo natural

$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$

$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$

$s > 0 \,$

Función de Bessel
de primer tipo,
de orden n

$J_n( \omega t) \cdot u(t)$

$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$

$s > 0 \,$
$(n > -1) \,$

Función de Bessel modificada
de primer tipo,
de orden n

$I_n(\omega t) \cdot u(t)$

$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$

$s > | \omega | \,$

Función de Bessel
de segundo tipo,
de orden 0

$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$

Función de Bessel modificada
de segundo tipo,
de orden 0

$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$

Función de error

$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$

${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

$s > 0 \,$

Notas explicativas:

$u(t) \,$ representa la función escalón unitario.
$\delta(t) \,$ representa la Delta de Dirac.
$\Gamma (z) \,$ representa la función gamma.
$\gamma \,$ es la constante de Euler-Mascheroni.

$t \,$ , un número real, típicamente representa tiempo,
, aunque puede representar cualquier dimensión independiente.
$s \,$ es la frecuencia angular compleja.
$\alpha \,$ , $\beta \,$ , $\tau \,$ , y $\omega \,$ son números reales.
$n \,$ es un número entero.

Un sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para anticausal systems. Véase también causality.

Relación con otras transformadas

La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada de Fourier y la Transformada Z.

Agosto 2007 >>
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Transformada de Laplace

Tabla de contenidos

Propiedades

Linealidad

Potencia n-ésima

Seno

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera especie

Función modificada de Bessel de primera especie

Función de error

Derivación

Integración

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal en t

Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Otras transformadas comunes

Tabla de las transformadas de Laplace selectas

Relación con otras transformadas