6 de Diciembre, 2007, 21:22: Javier GonzalezGeneral

Serie de Fourier

El análisis de Fourier es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones periódicas a traves de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho mas simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación incluyen análisis vibratorio , acustica, óptica, procesamiento de imágenes y señales,y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a traves del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier poseen la forma:

$y(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\operatorname{sen}(nx)\right]$

donde $a_n \,\!$ y $b_n \,\!$ se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función $y(x) \,\!$ .

Tabla de contenidos

Definición.

Si $f$ es una función (o señal) periódica y su período es $T$ , la serie de Fourier asociada a $f$ es:

$f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{n\pi}{T}t+b_n\operatorname{sen}\frac{n\pi}{T}t\right].$

$a n$ y $b n$ son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

$a_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left( \frac{n \pi}{T} t \right) dt, \qquad b_n=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \left(\frac{n\pi}{T}t\right) dt, \qquad \frac{a_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)dt .$

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

$f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}.$

Los coeficientes ahora serían

$c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,e^{-2\pi i\frac {n}{T}t}\,dt.$

Lo más frecuente es trabajar con funciones de período $2π$ .

== Teorema de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p. Sean

$a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \operatorname{cos} \frac{n \pi x} {p} dx,$

$b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}f(x) \operatorname{sen} \frac{n \pi x} {p} dx,$

entonces la serie converge a f(x).

Forma exponencial

Por la identidad de Euler, y operando adecuadamente, si

$C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.$

la serie de fourier se la puede expresar como la suma de dos series:

$\sum_{n=0}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}.$

En forma más compacta:

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}$

Ingeniería [editar]

El análisis de señales en el dominio del tiempo se realiza a traves de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

$C_n = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-j \omega_n t}\, dt,$

Por lo tanto:

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n e^{j \omega_n t}$

Aplicaciones

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Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal
Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

Formulación Moderna

En la actualidad, el desarrollo de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que $\int |f|^2<\infty$ . Al conjunto de todas las funciones definidas en el intervalo $[ - π,π]$ se lo nota con $L 2 ([ - π,π])$ . Este conjunto, tiene definido un producto interno,

$<f,g>=\int_{-\pi}^\pi f\overline g$

que lo transforma en un espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de $L 2 ([ - π,π])$ puedan desarrollarse en series de Fourier, lo que nos dice es que el sistema de exponenciales (o de caracteres) $\{e^{k \pi i}:k\in Z\}$ es una base ortonormal del espacio $L 2 ([ - π, p i]$ .

La igualdad de Parseval dice que dada una función $f$ de cuadrado integrable y $c n$ sus coeficientes de Fourier, se verifica que:

$||f||^2=\ <f,f>\ =\sum_{k=-\infty}^\infty c_k.$

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

Formulación general

Las útiles propiedades de las series de Fourier son debidas principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones e^{i n x}.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Algunas consecuencias positivas de las propiedades de homomorfismo de exp

Debido a que las "funciones base" e^ikx son homomorfismos de la línea real (más concretamente, del "grupo del círculo") tenemos ciertas identidades útiles:

Si $g (x) = f (x - y)$ entonces $\hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)$
La transformada de Fourier es un morfismo: $(f*g) \hat{ } (k)=\hat f(k) \hat g(k)$ -- esto es, la transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.

3 de Diciembre, 2007, 23:15: Grupo 4IL131General

Transformada Z

En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

Tabla de contenidos

Definición

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

z = A e j ω

donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia (o ángulo en radianes).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral de define como

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal.

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z⁻¹. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

Transformada Z inversa

La Transformada Z inversa se define

$x[n] = Z^{-1} \{(X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \$

donde $C \$ es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, $C \$ , debe contener todos los polos de $X(z) \$ .

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando $C \$ es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

$x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega \$

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

Región de convergencia (ROC)

La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita.

$ROC = \{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\}\$

Ejemplo 1 (Sin ROC)

Sea $x[n] = 0.5^n\$ . Expandiendo $x[n]\$ en $(-\infty, \infty)\$ obtenemos

$x[n] = \{..., 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\} = \{..., 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\$

Siendo la suma

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\$

No hay ningún valor de $z\$ que satisfaga esta condición.

Ejemplo 2 (ROC causal)

Sea $x[n] = 0.5^n u[n]\$ (donde $u$ es la función escalón). Expandiendo $x[n]\$ en $(-\infty, \infty)\$ obtenemos

$x[n] = \{..., 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\$

Siendo la suma

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\$

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si $\left|0.5 z^{-1}\right| < 1\$ , lo cual puede ser reescrito para definir $z\$ de modo $\left|z\right| > 0.5\$ . Por lo tanto, la ROC es $\left|z\right| > 0.5\$ . En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

Sea $x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\$ (donde $u$ es la función escalón). Expandiendo $x[n]\$ entre $(-\infty, \infty)\$ obtenemos

$x[n] = \{..., -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, ...\}\$

Siendo la suma

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{-n}\$

$= -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = -\frac{0.5^{-1}z}{1 - 0.5^{-1}z} = \frac{z}{z - 0.5} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\$

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la iguadad sólo se mantiene si $\left|0.5^{-1}z\right| < 1\$ , de modo que podemos definir $z\$ como $\left|z\right| < 0.5\$ . Aquí, la ROC es $\left|z\right| < 0.5\$ , es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

Conclusión de los ejemplos

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada $X(z)\$ de $x[n]\$ es única si y sólo si se especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye $\left| z \right| = \infty\$ , mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye $\left| z \right| = 0\$ .

En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni $\left| z \right| = \infty\$ ni $\left| z \right| = 0\$ . La ROC crea una región circular. Por ejemplo, $x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]\$ tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC será $0.5 < \left| z \right| < 0.75\$ , la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal $0.5^nu[n]\$ y otro anticausal $-(0.75)^nu[-n-1]\$ .

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. $\left| z \right| = 1\$ ) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque $\left| z \right| > 0.5\$ contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un $x[n]\$ ambiguo) podemos determinar una única señal $x[n]\$ en función de que queramos o no las siguientes propiedades:

Estabilidad
Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo $x[n]\$ que sea única.

Propiedades

Linealidad. La TZ de una combinación lineal de dos señales en el tiempo es la combinación lineal de sus transformadas en Z.

$Z(a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]) = a_1 Z(x_1[n]) + a_2 Z(x_2[n]) \$

Desplazamiento temporal. Un desplazamiento de k hacia la derecha en el dominio del tiempo es una multiplicación por z^−k en el dominio de Z.

$Z(x[n-k]) = z^{-k}Z(x[n]) \$

Convolución. La TZ de la convolución de dos señales en el tiempo es el producto de ambas en el dominio de Z.

$Z(\{x[n]\} \bigodot \! \! \! \! \! \! \star \ \ \{y[n]\}) = Z(\{x[n]\}) Z(\{y[n]\}) \$

Diferenciación.

$Z(\{nx[n]\}) = \ -z \frac{dZ(\{x[n]\})}{dz} \$

Tabla con los pares más habituales de la transformada Z

	Señal, $x (n)$	Transformada Z, $X (z)$	ROC
1	$\delta(n)\,$	$1\,$	$\mbox{todo }z\,$
2	$u(n)\,$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\|z\| > 1\,$
3	$a^n u(n)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| > \|a\|\,$
4	$n a^n u(n)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| > \|a\|\,$
5	$-a^n u(-n-1)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| < \|a\|\,$
6	$-n a^n u(-n-1)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| < \|a\|\,$
7	$\cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
8	$\sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
9	$a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-az^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$
10	$a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$

Relación con Laplace

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

$x(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t-nT) \$

donde $x(t) \$ es la señal continua muestreada, $x[n]=x(nT) \$ la n-ésima muestra, $T \$ el período de muestreo, y con la sustitución $z = e^{sT} \$ .

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

Relación con Fourier

La TZ es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT puede hallarse evaluando la TZ $X(z)\$ en $z=e^{j\omega}\$ o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.

Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes

La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de la media autorregresiva.

$\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}\$

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por $\alpha_0 \$ , si no es cero, normalizando $\alpha_0 = 1\$ la ecuación LCCD puede ser escrita

$y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}\$

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual $y[{n}]\$ se define en función de las salidas anteriores $y[{n-p}]\$ , la entrada actual $x[{n}]\$ , y las entradas anteriores $x[{n-q}]\$ .

Función de transferencia

Se calcula haciendo la TZ de la ecuación

$Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}\$

y dividiendo

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + ... + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + ... + z^{-N} \alpha_N}\$

Ceros y polos

Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia

$H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})...(1 - q_M z^{-1})}{(1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})...(1 - p_N z^{-1})}\$

donde $q_k\$ es el k-ésimo cero and $p_k\$ es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Salida del sistema

Si por un sistema $H(z)\$ pasa una señal $X(z)\$ entonces la salida será $Y(z) = H(z)X(z)\$ . Haciendo una descomposición en fracciones simples de $Y(z)\$ y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse entonces la salida $y[n]\$ .

7 de Agosto, 2007, 17:39: Fernando SaldañaGeneral

Transfomada de Laplace

Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

siempre y cuando la integral esté definida.

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.

La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

$F_B(s) = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Propiedades

Linealidad

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Potencia n-ésima

$\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}$

Nota: en la demostración aparece la función Gamma.

Seno

$\mathcal{L}\{\,sen(\omega t)\} =\frac{ \omega }{s^2 + \omega^2}$

Coseno

$\mathcal{L}\{\,\cos(\omega t)\} = \frac {s}{s^2 + \omega^2}$

Seno hiperbólico

$\mathcal{L}\{\,\mbox{senh}(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}$

Coseno hiperbólico

$\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}$

Logaritmo natural

$\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}$

Raíz n-ésima

$\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)$

Función de Bessel de primera especie

$\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{n}}{\sqrt{1+s^2}}$

Función modificada de Bessel de primera especie

$\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}$

Función de error

$\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

Derivación

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(s)\, d(s)$

NT: en la demostración recordar que $e - s t$ debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite $l i m (f (t) / e - s t, t = 0.. i n f i n t o)$ (el cual seria cero, sino no habría como calcular) es por esto que funciones del tipo $\mathcal{L}\{f(e^{t^2}))$ (que crece más rápido que $e - s t$ ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que $e^{t^2}$ , no es una función de orden exponencial.

Integración

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

Desplazamiento de la frecuencia

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s-a)$

Desplazamiento temporal en t

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

Nota: $u (t)$ es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

$\mathcal{l}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]$

Convolución

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Transformada de Laplace de una función con periodo p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

Otras transformadas comunes

Transformada de Laplace	Función en el tiempo
$1$	$δ(t)$
$\frac{1}{s}$	$u (t)$ (función escalón unitario)
$\frac{1}{(s+a)^n}$	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$
$\frac{1}{s(s+a)}$	$\frac{1}{a}(1-e^{-at})$
$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$
$\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2}$	$e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{c-a}{b}\right)\mbox{sen}{(bt)}\right)$
$\frac{\mbox{sen}\varphi s+a\cos\varphi}{s^2+a^2}$	$\mbox{sen}{(at+\varphi)}$

Tabla de las transformadas de Laplace selectas

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:

La transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.

$\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$

La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a $0 -$ , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es multiplo de u(t). Aquí está una lista de las transformadas más comunes:

Función

Dominio en el tiempo
$x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$

Dominio en la frecuencia
$X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$

Región de la convergencia
para sistemas causales

retraso ideal

$\delta(t-\tau) \$

$e^{-\tau s} \$

impulso unitario

$\delta(t) \$

$1 \$

$\mathrm{todo} \ s \,$

enésima potencia retrasada y con
desplazamiento en la frecuencia

$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$

$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$

$s > 0 \,$

n-ésima potencia

${ t^n \over n! } \cdot u(t)$

${ 1 \over s^{n+1} }$

$s > 0 \,$

2a.1

q-ésima potencia

${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$

${ 1 \over s^{q+1} }$

$s > 0 \,$

2a.2

escalón unitario

$u(t) \$

${ 1 \over s }$

$s > 0 \,$

escalón unitario con retraso

$u(t-\tau) \$

${ e^{-\tau s} \over s }$

$s > 0 \,$

Rampa

$t \cdot u(t)\$

$\frac{1}{s^2}$

$s > 0 \,$

potencia n-ésima con cambio de frecuencia

$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$

$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$

$s > - \alpha \,$

2d.1

amortiguación exponencial

$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$

${ 1 \over s+\alpha }$

$s > - \alpha \$

convergencia exponencial

$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$

$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$

$s > 0\$

seno

$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$

${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$

$s > 0 \$

coseno

$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$

${ s \over s^2 + \omega^2 }$

$s > 0 \$

seno hiperbólico

$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$

${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$

$s > | \alpha | \$

coseno hiperbólico

$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$

${ s \over s^2 - \alpha^2 }$

$s > | \alpha | \$

onda senoidal con
amortiguamiento exponencial

$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$

${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$

$s > -\alpha \$

onda cosenoidal con
amortiguamiento exponencial

$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$

${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$

$s > -\alpha \$

raíz n-ésima

$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$

$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$

$s > 0 \,$

logaritmo natural

$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$

$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$

$s > 0 \,$

Función de Bessel
de primer tipo,
de orden n

$J_n( \omega t) \cdot u(t)$

$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$

$s > 0 \,$
$(n > -1) \,$

Función de Bessel modificada
de primer tipo,
de orden n

$I_n(\omega t) \cdot u(t)$

$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$

$s > | \omega | \,$

Función de Bessel
de segundo tipo,
de orden 0

$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$

Función de Bessel modificada
de segundo tipo,
de orden 0

$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$

Función de error

$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$

${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

$s > 0 \,$

Notas explicativas:

$u(t) \,$ representa la función escalón unitario.
$\delta(t) \,$ representa la Delta de Dirac.
$\Gamma (z) \,$ representa la función gamma.
$\gamma \,$ es la constante de Euler-Mascheroni.

$t \,$ , un número real, típicamente representa tiempo,
, aunque puede representar cualquier dimensión independiente.
$s \,$ es la frecuencia angular compleja.
$\alpha \,$ , $\beta \,$ , $\tau \,$ , y $\omega \,$ son números reales.
$n \,$ es un número entero.

Un sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para anticausal systems. Véase también causality.

Relación con otras transformadas

La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada de Fourier y la Transformada Z.

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Matemática Superior para Ingenieros

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Serie de Fourier

Tabla de contenidos

Definición.

Forma exponencial

Ingeniería [editar]

Aplicaciones

Formulación Moderna

Formulación general

Algunas consecuencias positivas de las propiedades de homomorfismo de exp

Transformada Z

Tabla de contenidos

Definición

Transformada Z bilateral

Transformada Z unilateral

Transformada Z inversa

Región de convergencia (ROC)

Ejemplo 1 (Sin ROC)

Ejemplo 2 (ROC causal)

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

Conclusión de los ejemplos

Propiedades

Tabla con los pares más habituales de la transformada Z

Relación con Laplace

Relación con Fourier

Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes

Función de transferencia

Ceros y polos

Salida del sistema

Transformada de Laplace

Tabla de contenidos

Propiedades

Linealidad

Potencia n-ésima

Seno

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera especie

Función modificada de Bessel de primera especie

Función de error

Derivación

Integración

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal en t

Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Otras transformadas comunes

Tabla de las transformadas de Laplace selectas

Relación con otras transformadas